Элементарная математика. Геометрия.

Задача 72

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. На ребре $SA$ взята точка $M$ так, что $SM = 2AM$. Через $M$ и середины рёбер $SB$ и $SD$ проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение:

Пусть точки $E$ и $F$ — середины рёбер $SB$ и $SD$ соответственно.

Построим сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью. Пусть точка $O_1 = ME \cap AB$, точка $O_2 = MF \cap AD$. Через точки $O_1$ и $O_2$ проведём прямую $l$. Пусть точка $O_3 = l \cap BC$, точка $O_4 = l \cap DC$. Тогда точка $N \in SC$, $N = O_3E \cap SC$, $N = O_4F \cap SC$. Следовательно, $MENF$ — искомое сечение пирамиды.

Пусть точка $M_1 \in AB$, так что $MM_1 \parallel SB$. Тогда $\triangle AMM_1$ ~ $\triangle ASB$. Так как $\dfrac{AM}{AS} = \dfrac{1}{3}$, то $\dfrac{MM_1}{SB} = \dfrac{AM_1}{AB} = \dfrac{1}{3}$.

Так как $M \in O_1E$ и $E \in SB$, то $MM_1 \parallel SB \parallel EB$, следовательно $\triangle O_1MM_1$ ~ $\triangle O_1EB$. Пусть $O_1A = a$, $AB = b$, тогда $AM_1 = \dfrac{b}{3}$. Следовательно,
$\dfrac{O_1M_1}{O_1B} = \dfrac{MM_1}{EB} = \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot SB}{\dfrac{1}{2} \cdot SB} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3(O_1A + AM_1) = 2(O_1A + AB) \Rightarrow 3a + b = 2a + 2b \Rightarrow a = b \Rightarrow O_1A = AB$.

Аналогично для точки $M_2 \in AD$, $MM_2 \parallel SD$ следует, что $O_2A = AD$.

Так как в $\triangle O_1BO_3$ $O_1A = AB$ и $O_2A \parallel O_3B$, то $\triangle O_1AO_2$ ~ $\triangle O_1BO_3$ и $O_3B = 2O_2A$.

Пусть точка $E_1 \in BC$, $EE_1 \parallel SC$. Тогда
$\triangle O_3EE_1$ ~ $\triangle O_3NC$,
$\dfrac{EE_1}{NC} = \dfrac{O_3E_1}{O_3C} = \dfrac{2BC + \dfrac{BC}{2}}{3BC} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow NC = \dfrac{6}{5}EE_1$.
Так как $EE_1 = \dfrac{1}{2}SC$, то
$NC = \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{1}{2}SC = \dfrac{3}{5}SC \Rightarrow SN = \dfrac{2}{5}SC$.

Пусть точки $K$ и $L$ — середины рёбер $SA$ и $SC$ соответственно. Тогда параллелограмм $KELF$ — сечение пирамиды $SABCD$ горизонтальной плоскостью, при этом каждая сторона параллелограмма $KELF$ равна половине соответствующей стороны параллелограмма $ABCD$.

Рассмотрим три пирамиды: $SKELF$, $MKEF$ и $NELF$.

Пусть точки $S_1 = KL \cap EF$, $S_2 = AC \cap BD$, тогда $SS_2$ — высота пирамиды $SABCD$, а $SS_1$ — половина высоты пирамиды $SABCD$ и высота пирамиды $SKELF$. Пусть $SS_1 = h$, тогда $SS_2 = 2h$.

Так как отношение площадей равно квадрату отношения сторон, то
$\dfrac{S_{KELF}}{S_{ABCD}} = (\dfrac{KE}{AB})^2 = (\dfrac{EL}{BC})^2 = (\dfrac{LF}{CD})^2 = (\dfrac{FK}{DA})^2 = (\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$.

Пусть $S_{KELF} = S$, тогда
$S_{ABCD} = 4S$;

$S_{KEF} = S_{LEF} = \dfrac{1}{2} \cdot S_{KELF} = \dfrac{S}{2}$.

Проведём из точек $N$ и $M$ на плоскость, содержащую параллелограмм $KELF$, высоты $NH_1$ и $MH_2$ соответственно. Получаем, что $\triangle LNH_1$ ~ $\triangle LSS_1$ и $\triangle MKH_2$ ~ $\triangle SKS_1$.

Значит,
$\dfrac{NL}{SL} = \dfrac{SL - SN}{SL} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot SC - \dfrac{2}{5} \cdot SC}{\dfrac{1}{2} \cdot SC} = \dfrac{1}{5}$.
То есть
$\dfrac{NH_1}{SS_1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow NH_1 = \dfrac{1}{5} \cdot SS_1 = \dfrac{1}{5} \cdot h$.

Аналогично,
$\dfrac{MK}{SK} = \dfrac{AK - AM}{SK} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot SA - \dfrac{1}{3} \cdot SA}{\dfrac{1}{2} \cdot SA} = \dfrac{1}{3}$.
То есть
$\dfrac{MH_2}{SS_1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MH_2 = \dfrac{1}{3} \cdot SS_1 = \dfrac{1}{3} \cdot h$.

Тогда
$V_{SKELF} = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot h = \dfrac{S \cdot h}{3}$;
$V_{MKEF} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{S}{2} \cdot \dfrac{h}{3} = \dfrac{S \cdot h}{18}$;
$V_{NELF} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{S}{2} \cdot \dfrac{h}{5} = \dfrac{S \cdot h}{30}$;
$V_{SABCD} = \dfrac{1}{3} \cdot 4S \cdot 2h = \dfrac{8 \cdot S \cdot h}{3}$.

Для верхней и нижней частей получаем

$V_{верх.части} = V_{SKELF} - V_{NELF} + V_{MKEF} = \dfrac{S \cdot h}{3} - \dfrac{S \cdot h}{30} + \dfrac{S \cdot h}{18} = \dfrac{16}{45} \cdot S \cdot h$;
$V_{нижн.части} = V_{SABCD} - V_{SKELF} = \dfrac{8}{3} \cdot S \cdot h - \dfrac{16}{45} \cdot S \cdot h = \dfrac{104}{45} \cdot S \cdot h$.

Окончательно имеем
$\dfrac{V_{верх.части}}{V_{нижн.части}} = \dfrac{\dfrac{16}{45} \cdot S \cdot h}{\dfrac{104}{45} \cdot S \cdot h} = \dfrac{16}{104} = \dfrac{2}{13}$.

Ответ:

$\dfrac{2}{13}$.