Элементарная математика. Геометрия.

Задача 73

В основании треугольной пирамиды лежит треугольник, одна сторона которого равна $1.04$, все боковые ребра равны $2$. Около пирамиды описан конус так, что вершины основания лежат на окружности основания конуса, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. Найдите угол в осевом сечении конуса, если площадь осевого сечения конуса равна $1$.

Решение:

Так как вершина конуса и пирамиды совпадают, образующие конуса будут равны ребрам пирамиды, а высота конуса будет равна высоте пирамиды.

Пусть $\triangle BDE$  —   осевое сечение конуса; $AC=1,04$; $BO = OE = r$ — радиус основания конуса; $DO = h$ — высота конуса, совпадающая с высотой пирамиды;  $BD = DE = 2$.

По условию площадь осевого сечения  равна 1. Значит $r \cdot h = 1$, следовательно $h = \frac{1}{r}$.

Для прямоугольного $\triangle BOD$ запишем теорему Пифагора

$r^2 + h^2 = r^2+\frac{1}{r^2}=BD^2 = 4$.

Введя замену $r^2 = c$, получим
$c^2-4c+1=0$.

Корнями этого квадратного уравнения будут

$c_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$;

$c_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$.

Тогда
$r_1=\sqrt{2+\sqrt{3}};$ 
$r_2=\sqrt{2-\sqrt{3}}$. 

Рассмотрим равнобедренный $\triangle AOC$.  Проверка условия $AO+OC\gt1,04$ позволяет исключить из рассмотрения 2-й корень.

Значит
$\cos\alpha=\frac{BO^2+OE^2-BE^2}{2\cdot BO\cdot OE}=\frac{4+4-4\cdot(2+2\sqrt{3})}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{8-8-4\sqrt{3}}{8}=\frac {-4\sqrt{3}}{8}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$;

$\alpha=\arccos(\frac{-\sqrt{3}}{2})=150^\circ$.

Ответ:

$150^\circ$.