Элементарная математика. Геометрия.

Задача 74

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Через середину $D_1C_1$ проведена прямая $l$, пересекающая прямые $BA_1$ и $AD_1$. Какой угол образует $l$ с $BA_1$?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Заметим, что прямая $l$ будет пересекать прямую $AD_1$ только в том случае, если будет с ней находиться в одной плоскости. Допустим, что $l$ проходит через какую-то точку на отрезке (вне отрезка)  $A_1B$, не совпадающую с  $B$. Тогда $l$ не сможет пересечься с прямой $AD_1$ (они будут скрещивающимися). Следовательно,  прямая $l$ будет пересекаться  с прямой $AD_1$, если будет проходить через точку $B$. В этом случае искомым будет $\angle A_1BN$.

Найдем стороны $\triangle A_1BN$ по теореме Пифагора (пусть сторона квадрата для определенности равна  $a$):
из прямоугольного $\triangle AA_1B$
$A_1B = \sqrt{{AA_1}^2+{AB}^2} = a\sqrt{2}$;
из прямоугольного $\triangle A_1D_1N$
$A_1N = \sqrt{{A_1D_1}^2+{D_1N}^2} = \sqrt{{a}^2+\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}\sqrt{5}$;
из прямоугольного $\triangle BB_1N$
$BN = \sqrt{{B_1N}^2+{BB_1}^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}+{a^2}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

Тогда по теореме косинусов, зная 3 стороны треугольника, найдем  $\angle{A_1BN}=\alpha$
${A_1N}^2 = {A_1B}^2 + {BN}^2 - 2\cdot{A_1B}\cdot{BN}\cdot{\cos\alpha}$.
Подставляя значения и преобразовывая получившееся выражение найдем угол $\alpha$:

$\frac{5a^2}{4} = {2a^2} + \frac{9a^2}{4} - 2\cdot{a\sqrt{2}}\cdot{\frac{3a}{2}}\cdot{\cos\alpha}$;

$\frac{12a^2}{4} = 2\cdot{a\sqrt{2}}\cdot{\frac{3a}{2}}\cdot{\cos\alpha}$;

${\cos\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} => \alpha = 45^{\circ}$.

Oтвет:

$45^{\circ}$.