Элементарная математика. Геометрия.

Задача 75

Три шара касаются попарно между собой, плоскости основания конуса и боковой поверхности конуса. Центры шаров находятся вне конуса. Найдите угол в осевом сечении конуса, если известно, что точка касания каждого шара с поверхностью конуса делит соответствующую образующую пополам.

Решение:

По условию $SO$ — ось конуса; $SA$ — образующая, которой касается шар с центром $O_1$; $M$ и $K$ — точки касания этого шара с $SA$ и плоскостью основания; $M$ — середина $SA$. Поскольку шары равны и попарно касаются друг друга, то их центры образуют правильный треугольник со стороной $2R$. Из этого следует, что $OK$ равняется радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $2R$:

 $OK=\frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Пусть $\angle{O_1AK}=\angle{O_1AM}=\varphi$, а $\text{ctg}\varphi=x$, тогда:

$AK=xR$;
$SA=2AM=2AK=2xR$.

В прямоугольном $\triangle SAO$ найдем катет $OA$:

$OA=SA\cos{(180^\circ - 2\varphi)}=-2xR\frac{1-\text{tg}^2 \varphi}{1+\text{tg}^2 \varphi}=2xR\frac{\frac{1}{x^2}-1}{1+\frac{1}{x^2}}=2xR\frac{1-x^2}{1+x^2}$.

Для нахождения $x$ получаем уравнение $OK=AO+AK$:

$x R+2 x R\frac{1-x^2}{1+x^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}R$.

Элементарными преобразованиями приводим его к виду:

$x^3+\frac{2}{\sqrt{3}}x^2 -3x+\frac{2}{\sqrt{3}}=0$.

Замена $y=x\sqrt{3}$ позволяет свести уравнение относительно $y$ к такому

 $y^3 + 2y^2 -9y+6=0$.

После группировки

$(y^3 -y^2 )+(3y^2 -3y)-(6y-6)=0$.

выносим общий множитель $(y-1)$ за скобки

$(y-1)(y^2 +3y-6)=0$.

У этого уравнения три корня:

$y_{1,2} =\frac{-3\pm\sqrt{33}}{2}$;
$y_3=1$.

По условию $\varphi>45^\circ$, следовательно: 

$0$, а $0$.

Этому условию удовлетворяют два значения

$y=1$ и $y=\frac{\sqrt{33}-3}{2}$,
которым соответствуют два угла
$\varphi=60^\circ$ или $\varphi=51,6^\circ$.

В этом можно убедиться двигая  точку $S$ на рисунке.

Ответ:

$60^\circ$;  
$51,6^\circ$.