Элементарная математика. Геометрия.

Задача 76

$ABCD$ — прямоугольник. В вершинах $A$, $B$ и $C$ к плоскости прямоугольника восстановлены перпендикуляры и на них взяты точки $K$, $M$ и $P$ так, что $AK = 7$, $BM = 5$, $CP = 3$, причём точки $K$ и $M$ находятся по одну сторону от плоскости $ABCD$, а $P$ — по другую. Плоскость, проходящая через $K$, $M$ и $P$, пересекает перпендикуляр, восставленный к плоскости $ABCD$ в вершине $D$, в точке $S$. Найдите $DS$.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Чтобы построить сечение: нужно провести $PM$, $PM \cap BC = E$, $KP \cap AC = F$. Проводим прямую $EF$ до пересечения $AD$, поэтому $EF \cap AD = G$. Прямую $KG$ проводим до перпендикуляра из точки $D$ и получаем точку $S$. В итоге получаем сечение $KMPS$.

Заметим, что $SP \parallel KM$ и $MP \parallel KS$, так как это линии пересечения построенной плоскости с плоскостями, перпендикулярными к плоскости $ABCD$. Следовательно, $KMPS$  является параллелограммом.

Пусть $MH \parallel AB$ и $IS \parallel CD$, тогда $KH = AK - BM = 2$, $IP = CP - DS = 3 - DS$.

Запишем теорему Пифагора для $\triangle KMH$ и $\triangle PSI$ с учетом  $MH = SI = a$:

$KM^2 = MH^2 + KH^2= 2^2 + a^2$ ;
$SP^2 = PI^2 + SI^2=(3 - SD)^2 + a^2$;

Тогда
$4 + a^2 =(3 - SD)^2 + a^2$;
$(3 - SD)^2 = 4$;
$SD = 5$ или $SD = 1$.

Так как $SD < CP$, то $SD = 1$.

Ответ:

$1$.