Элементарная математика. Геометрия.

Задача 78

$ABCD$ — правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$. Боковые рёбра пирамиды равны $3$. Найти площадь равнобедренного треугольника, одна вершина которого совпадает с $A$, другая — с серединой $CD$, а третья лежит на отрезке $BC$.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Выбрать две стороны из трех можно тремя способами.
1) Пусть $AM=MN$.
В таком случае $N$ совпадает с $B$.
В $\triangle ADC$ найдем $\cos \angle ADC$ по теореме косинусов:
$\cos \angle ADC = \dfrac{AD^2 + DC^2 - AC^2}{2\cdot AD\cdot DC} = \dfrac{3^2+3^2-2^2}{2\cdot3\cdot3} = \dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$.
В $\triangle AMD$ так же по теореме косинусов найдем $AM$:
$AM = \sqrt{AM^2 + DM^2 - 2\cdot AD\cdot DM\cdot \cos \angle ADC} = \sqrt{9 + \dfrac{9}{4} - 2\cdot 3 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{9}} = \dfrac{\sqrt{17}}{2}$.
В $\triangle AMB$ по теореме Пифагора найдем $MH$ ($H$ середина $AB$, следовательно, $AH = 1 = HB$)
$MH = \sqrt{AM^2 - AH^2} = \sqrt{ \dfrac{17}{4} - 1} = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
Тогда
$S_{AMB} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{2} \cdot 2 = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

Ответ:

$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

2) Пусть $AN=NM=x$. Тогда по теореме косинусов в $\triangle ABN$ получим
$x^2 = BN^2 + 4 - 2 \cdot BN \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2}$.
После приведения подобных имеем
$BN^2 - 2 \cdot BN + 4 = x^2$.
По теореме косинусов в $\triangle CMN$ получим
$x^2 = CN^2 + MC^2 - 2 CN \cdot MC \cdot \cos \angle NCM$
или
$x^2 = CN^2 +\dfrac{9}{4} - 2 CN \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=CN^2 - CN +\dfrac{9}{4}$.
Тогда

$CN^2 - CN +\dfrac{9}{4}=BN^2 - 2 \cdot BN + 4$.
Введем замену $BN=y; CN=z$ и учтем, что $z+y=2$. Получим уравнение
$(2-z)^2-2(2-z)+4=z^2-z+\dfrac 9 4$,
из которого легко находим
$z=CN=\dfrac 7 4$.
Тогда
$x^2 = \dfrac{57}{16}$;
$x = \pm \dfrac{\sqrt{57}}{4}$.
Так как длина не может быть отрицательной, то $AN=x =\dfrac{\sqrt{57}}{4}$.

Если $NH$ — высота равнобедренного $\triangle AMN$, то по теореме Пифагора найдем высоту
$NH = \sqrt{AN^2 - \dfrac{AM^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{57}{16}-\dfrac{17}{4}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Тогда
$S = \dfrac{1}{2} NH \cdot AM = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{17}}{2} = \dfrac{\sqrt{170}}{8}$.

Ответ:

$\dfrac{\sqrt{170}}{8}$.

3) Другие случаи не реализуются.