Элементарная математика. Геометрия.

Задача 79

Радиус основания и высота конусы равны $1$. Внутри конуса находятся три шара равного радиуса. Каждый шар касается двух других, основания конуса и боковой поверхности конуса. Найдите радиус этих шаров.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Соединим центры шаров. Получим равносторонний $\triangle O_1O_2O_3$, со стороной $2r$, где $r$ — радиус шаров.

Пусть $H$ — точка пересечения высот указанного  треугольника. Тогда $HO_1= \frac{2\cdot2r\cdot\sqrt{3}}{2\cdot3} = \frac{2r\cdot\sqrt{3}}{3}$.

Если $SO$ — высота конуса, то по условию $SO=OA=1$. Значит $\triangle SAO$ — прямоугольный и равнобедренный. Следовательно $\angle{SAO}=45^\circ$.

Тогда, если $O_1R_1=O_1R_2=r$, то $\angle O_1AR_1=\angle O_1AR_2=\frac {45^\circ}{2}$.
Воспользуемся формулой
$tg\frac{45^\circ}{2}=\sqrt\frac{1-\cos 45^\circ}{1+\cos 45^\circ}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
и получим
$AR_1=\frac{r}{tg\frac{45^\circ}{2}}=\frac{r}{\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$.

Так как  $AO=AR_1+R_1O$, то, подставляя известные значения, запишем уравнение для определения $r$:

$1=\frac{(2+\sqrt{2})r}{\sqrt{2}}+\frac{2r\cdot\sqrt{3}}{3}$.

Выполним преобразования

$1=\frac{3r(2+\sqrt{2})+2\sqrt{6}r}{3\sqrt{2}}$;

$1=\frac{r(6+3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{2}}$;

$r=\frac{3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$.

Oтвет:

$\frac{3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$.