ЭМГеометрия: Задача S80

Задача 80

В основании пирамиды $SABC$ лежит $\triangle ABC$ , у которого $AB=AC=2$ , $\angle BAC=30^\circ$ . Ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$ . Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой $A$ , а основание вписано в $\triangle SBC$ . Найдите объём пирамиды.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Сторону $BC$ найдём по теореме косинусов для $\triangle ABC$ :

$BC^2= AB^2 + CA^2 -2 AB \cdot CA \cdot \cos \angle BAC$ ;

$BC = \sqrt{4 + 4 -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} / 2} = 2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

Из того, что в пирамиду вписан конус следует, что $\triangle ASB =\triangle ASC$ и $\triangle SBC$ — равнобедренный. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$ , то $\angle SAB=\angle SAC=90^\circ$ .

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, поэтому апофема $AL$ (она же и образующая конуса) делит пополам сторону $BC$ . Тогда по теореме Пифагора для $\triangle ABL$ найдем
$AL = \sqrt{AB^2 - BL^2} = \sqrt{4 - (2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

Найдём площадь $S_{\triangle ABC}$ :
$S_{\triangle ABC} = AL \cdot BL = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{4 - 3} = 1$ .

Очевидно, что $AL_1 = AL$ — образующие конуса и $BL_1 = BL$ — касательные к окружности, проведенные из одной точки.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle SAB$ . В этом треугольнике $AL_1$ — высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому $\triangle AL_1B\sim \triangle SAB$ .