Элементарная математика. Геометрия.

Задача 81

$ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром 1. $M$ — середина $AB$, $K$ — точка на $BC$, такая, что $BK=2 CK$. Найдите расстояние от точки $K$ до середины $DM$.

Решение:

Так как $M$ — середина $AB$ , $AM = MB = AB / 2 = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $BC = BK + CK = 2CK + CK = 3CK = 1$ , тогда $CK = \frac{1}{3}$, а $BK = \frac{2}{3}$.

Так как $ABD$ — равносторонний треугольник, то $MD$ — медиана, а значит и высота.

По формуле высоты правильного треугольника: $MD = AB \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $MT = TD = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

По теореме косинусов для $\triangle MBK$ получим:

$MK^2 = MB^2 + BK^2 - 2MB \cdot BK \cdot \cos{\angle{MBK}} = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{13}{36}$.

По теореме косинусов для $\triangle CDK$ получим:

$DK^2 = CD^2 + CK^2 - 2CD \cdot CK \cdot \cos{\angle{DCK}} = 1 + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7}{9}$.

По теореме косинусов для $\triangle MDK$ получим:

$DK^2 = MK^2 + MD^2 - 2MK \cdot MD \cdot \cos{\angle{DMK}}$.

Подставим известные значения:

$\frac{7}{9} = \frac{13}{36} + \frac{3}{4} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{13}}{6} \cos{\angle{DMK}}$.

Выразим $\cos{\angle{DMK}}$

$\cos{\angle{DMK}} = \frac{( \frac{13}{36} + \frac{3}{4} - \frac{7}{9}) 6}{\sqrt{39}} = \frac{2}{\sqrt{39}}$.

По теореме косинусов для $\triangle MKT$ получим:

$KT^2 = MK^2 + MT^2 - 2MK \cdot MT \cdot \cos{\angle{DMK}} = \frac{13}{36} + \frac{3}{16} - 2 \frac{\sqrt{13}}{6} \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{2}{\sqrt{39}} = \frac{55}{144}$.

$KT = \frac{\sqrt{55}}{12}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{55}}{12}$.