Элементарная математика. Геометрия.

Задача 83

Дана правильная треугольная призма со стороной основания, равной $6$, и боковым ребром, равным $5$. Через сторону основания проведено сечение, образующее со стороной основания угол, равный $45^\circ$. Найти площадь сечения.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Искомое сечение по условию проходит через сторону основания, такой стороной мы выберем $CB$. На ней возьмем точку $T$, такую, что $CT=BT$. Построим сечение, содержащее $AA_1$ и точку $T$. Рассмотри $\triangle AA_1T$. В нем $AT=AB\cdot\sin 60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\gt 5 =AA_1$. Значит, $\angle ATA_1 \lt 45^\circ$. Поэтому искомое сечение будет пересекать плоскость $A_1C_1B_1$ по прямой $KL\parallel CB$ и, следовательно, искомое сечение будет равнобокой трапецией $CKLB$. Пусть $KO=OL$, тогда двугранный угол равен плоскому $\angle OTA=45^\circ$.

Вычислим $TO$ — высоту трапеции $CKLB$.
Проведем высоту $OS$. В силу того, что $\triangle{OST}$ — равнобедренный и прямоугольный, имеем
$ST=OS=5$ и $TO=5\sqrt 2$
и
$A_1O=AT-ST=3\sqrt{3}-5$.

Для подобных $\triangle A_1LK$ и $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо равенство ($AS=A_1O$):

$\frac{A_1O}{AT}=\frac{KL}{CB}$.

Отсюда

$KL=\frac{AS}{AT}CB=\frac{(3\sqrt{3}-5)6}{3\sqrt{3}}=6-\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Зная все необходимые значения, вычислим площадь трапеции:
$S_{KLBC}=\frac{KL+BC}{2}OT=\frac{6-\frac{10\sqrt{3}}{3}+6}{2}5\sqrt{2}=\frac{1}{3}(90-25\sqrt{3})\sqrt{2}$.

Ответ:

$\frac{1}{3}(90-25\sqrt{3})\sqrt{2}$.