Элементарная математика. Геометрия.

Задача 85

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, в котором $AB = 2$, $AD = AA_1 = 1$. Найдите угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью, проходящей через $D, C_1$ и $A_1$.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Из условия следует, что $AA_1D_1D$ — квадрат. Пусть $H$ — его центр. Рассмотрим сечение $AD_1C_1B$. Очевидно, что это сечение и сечение, заданное в условии пересекаются по отрезку $C_1H$, который является медианой, высотой и биссектрисой в равнобедренном $\triangle{DA_1C_1}$.

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, поэтому $AD_1C_1B \perp DA_1C_1$. Следовательно, любой перпендикуляр, проведенный к $C_1H$ в плоскости $AD_1C_1B$ будет перпендикулярен плоскости $DA_1C_1$.

Так как $\triangle{D_1MH} \sim \triangle{BMC_1}$ ($D_1H \parallel C_1B$), то коэффициент подобия: $k = \frac{D_1H}{C_1B} = \frac{1}{2}$.
Отсюда последовательно получаем:
$D_1M=\frac{1}{3}BD_1$;
$BD_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{6}$;
$D_1M = \frac{1}{3} BD_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}$;
$D_1H = \frac{1}{2} C_1B = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$C_1H = \sqrt{D_1H^2 + D_1C_1^2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$;
$MH = \frac{1}{3} C_1H = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проведем $D_1O \perp C_1H$. Так как $D_1O \perp DC_1A_1$, то искомый угол будет $\angle{D_1MO}$. Длину отрезка $D_1O$ находим, применяя метод площадей в $\triangle{D_1C_1H}$.
С одной стороны:
$S_{\triangle{D_1C_1H}} = \frac{1}{2}C_1D_1 \cdot D_1H$.
С другой стороны:
$S_{\triangle{D_1C_1H}} = \frac{1}{2}D_1O \cdot C_1H$.
Тогда
$D_1O=\frac{C_1D_1\cdot D_1H}{C_1H}=2\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle{D_1MO}$, в котором
$\sin\angle{D_1MO} =\frac{D_1O}{D_1M} =\frac{2}{\sqrt 6}= \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Отсюда
$\angle{D_1MO} =\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ:

$\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}$.