Элементарная математика. Геометрия.

Задача 82

Найдите радиус шара, касающегося всех ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна $2$, а боковое ребро равно $3$.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть $AB=a=2, AF=b=3$; $E$ и $G$ — точки касания шара с ребрами,   $FD$ — высота, точка $H$ — центр шара и лежит на высоте $FD$.

Отрезок $AG=\frac{a}{2}=AE$, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Очевидно, что $EF=AF-AE=b-\frac{a}{2}$.
В прямоугольном $\triangle FDA$ катет $AD$ равен радиусу описанной окружности около $\triangle ABC$, поэтому $AD=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Тогда

$FD=\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{b^2-\left( \frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{\sqrt{3 b^2-a^2}}{\sqrt{3}}$.

Прямоугольные $\triangle FEH$ и $\triangle FDA$ подобны по общему углу, следовательно
$\frac{HE}{EF}=\frac{AD}{FD}\Rightarrow EH=\frac{AD\cdot EF}{FD}=\frac{a (2b-a)}{2\sqrt{3b^2 - a^2}}=\frac{2(2\cdot 3-2)}{2\sqrt{3\cdot 9-4}}=\frac{4}{\sqrt{23}}$.

Ответ:

$\frac{4}{ \sqrt{23} }$.