Элементарная математика. Геометрия.

Задача 87

В каком отношении делит объём куба плоскость, проходящая через центры трёх смежных граней куба?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — куб с ребром $a$. Рассмотрим его смежные грани-квадраты: $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, $C_{1}D_{1}DC$, $AA_{1}D_{1}D$.
В этих гранях возьмем точки $O_{1},O_{2}, O_{3}$, как точки пересечения соответствующих диагоналей: $A_{1}D$ и $AD_{1}$, $A_{1}C_{1}$ и $B_{1}D_{1}$,  $DC_{1}$ и $CD_{1}$.

Очевидно, что плоскость, проходящая через центры граней $O_{1},O_{2}, O_{3}$ образует сечение — равносторонний $\triangle C_{1}A_{1}D$. Он разделяет куб на две части, отношение объемов которых нам и нужно найти. 

Рассмотрим пирамиду $C_{1}A_{1}DD_1$. Ее объем вычислим по формуле

$V_{пир}=\frac{1}{3} C_1D_1 \cdot S_{\triangle A_{1}D_1D}=\frac{1}{3} a\cdot \frac{1}{2} a^{2}=\frac{a^{3}}{6}$.

Тогда

$\frac{V_{куб}−V_{пир}}{V_{пир}}=\dfrac{(a^{3}−\frac{a^{3}}{6})}{\frac{a^{3}}{6}}=\frac{5}{1}.$

Ответ:

в отношении 5:1.