ЭМГеометрия: Задача S88

Задача S88

В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через одну вершину куба и центры двух граней, не содержащих эту вершину?

Решение:

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . Пусть $B_1, T, P$ — точки, через которые проходит заданное сечение. По условию точки $T$ и $P$ являются центрами граней, значит они лежат на пересечении диагоналей соответствующих граней. Следовательно, их проекциями будут точки $T_1$ (середина $AD$ ) и $P_1$ (середина $DC$ ).

Тогда в плоскости $BB_1TT_1$ прямая $B_1T$ пересекается с прямой $BT_1$ в точке $X$ .
Аналогично, в плоскости $BB_1PP_1$ прямая $B_1P$ пересекается с прямой $BP_1$ в точке $Y$ . Значит, прямая $XY$ — это след секущей плоскости в плоскости $ABCD$ .

Пусть прямая $XY$ пересекается с прямыми $AB$ и $BC$ в точках $R$ и $Z$ соответственно. Тогда в плоскости $AA_1B_1$ прямые $RB_1$ и $AA_1$ пересекаются в точке $M$ , а в плоскости $BB_1C_1$ прямая $B_1Z$ пересекается с прямой $CC_1$ в точке $K$ .

В силу симметрии прямые $MT$ и $KP$ пересекаются в точке $S$ на ребре $DD_1$ . Следовательно можем сделать вывод о том, что четырёхугольник $MB_1KS$ — искомое сечение.

Пусть ребро куба равно $a$ .
Так как $DT_1$ — средняя линия треугольника $BCX$ , то $DX = DC=a$ .
Так как $DP_1$ — средняя линия треугольника $BAY$ , то $AD = DY=a$ .

Рассмотрим треугольник $ARY$ . Отрезок $DX=a$ — его средняя линия, поэтому $AR = 2a$ .
Треугольник $BB_1R$ подобен треугольнику $MAR$ , значит $BB_1 : AM = RB : RA = 3:2$ . Поэтому $AM : MA_1 = 2 : 1$ .