Элементарная математика. Геометрия.

Задача 89

Три диагонали параллелепипеда попарно перпендикулярны, их длины равны $a$, $b$ и $c$. Найдите длину четвертой диагонали.

Решение:

Пусть задан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Проведем диагонали параллелепипеда $AC_1=a$, $BD_1=b$ и $CA_1=c$, которые попарно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Для определенности рассмотрим одну грань параллелепипеда $ABCD$ и пусть $DB_1=x$.

По свойству параллелепипеда его диагонали делятся пополам точкой пересечения: $OA=\frac{a}{2}$, $OC=\frac{c}{2}$, $OB=\frac{b}{2}$, $OD=\frac{x}{2}$.

Так как диагонали параллелепипеда $a$, $b$ и $c$ попарно перпендикулярны, то треугольники $AOB, BOC, AOC$ — прямоугольные. Тогда по теореме Пифагора:
$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}$,
$BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}=\frac{b^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}$,
$CA^{2}=OC^{2}+OA^{2}=\frac{c^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}$.

Пусть $Q$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда по свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла треугольника, имеем $OQ=AQ=CQ$. Значит,
$OQ^{2}=\frac{1}{4}CA^{2}=\frac{1}{4}(\frac{c^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4})=\frac{1}{16}(a^{2}+c^{2}).$
Воспользуемся далее известной формулой для медиан треугольника
$OQ^{2}=\frac{1}{4}(2OD^{2}+2OB^{2}-DB^{2})$,
или после подстановки
$\frac{1}{16}(a^{2}+c^{2})=\frac{1}{4}(\frac{x^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}-DB^{2}),$
откуда
$x^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}-b^{2}+2DB^{2}.$

Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Следовательно можно записать
$DB^{2}+AC^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$
или
$DB^{2}+\frac{c^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}$,
$DB^{2}=\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+\frac{c^{2}}{4}.$

После подстановки окончательно получаем
$x^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},$
или
$x=\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}.$

Ответ:

$\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}.$