Элементарная математика. Геометрия.

Задача 90

Радиус шара, описанного около правильной шестиугольной пирамиды равен $2$. Боковое ребро пирамиды равно $1$. Найти объем пирамиды. 

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Пусть $HABCDEF$ — заданная пирамида. В силу симметрии основание высоты пирамиды совпадает с точкой пересечения диагоналей правильного шестиугольника ($HM=h$), у которого сторона основания равна $r$. Центр шара $K$ лежит на высоте пирамиды или ее продолжении.
По условию нам дано, что радиус шара, описанного около правильной шестиугольной пирамиды, равен $R = KA = 2$.
Боковые ребра пирамиды $HA = HB = HC = HD = HE = HF = 1$.
Объем пирамиды будем искать по формуле: $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$, где площадь правильного шестиугольника $S_{осн} = \frac{3\cdot \sqrt{3} \cdot r^2}{2}$.
Выразим высоту пирамиды $h$, и сторону шестиугольника  $r$ через радиус шара.
Заметим, что сторона правильного шестиугольника всегда равна радиусу описанной окружности.
Из прямоугольного $\bigtriangleup HMA$, по теореме Пифагора имеем: $r^2 + h^2 = 1$.
Так же из прямоугольного $\bigtriangleup KMA$, катет $KM = R-h$.
значит, по теореме Пифагора, имеем:  $r^2 + (R - h)^2 = R^2$, $r^2 + (2 - h)^2 = 4$.
Объединяем эти уравнения в систему
$\begin{cases}r^2 + h^2 = 1;\\r^2 +(2-h)^2 = 4.\\\end{cases}$
Решаем систему, вычитая первое из второго,
$r^2-r^2 + (2-h)^2-h^2 = 4-1$,
откуда находим $h = \frac{1}{4}$.
Подставляя $h$ в первое уравнение системы, получаем $r = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Тогда
$V =\frac{1}{3}\cdot S\cdot h= \frac{15\cdot \sqrt{3}}{128}$.

Ответ:

$\frac{15\sqrt{3}}{128}$.

Заметим, что решение было проведено по рисунку, на котором ребро пирамиды значительно больше радиуса шара. Предлагаем читателю изменить чертеж, двигая точки рисунка, и решить задачу, когда ребро пирамиды меньше радиуса шара.