Элементарная математика. Геометрия.

Задача 91

Прямоугольный треугольник повёрнут вокруг биссектрисы прямого угла на угол $45^\circ$. На какой угол повернулись его катеты?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

В результате поворота прямоугольного $\triangle ABE$ вокруг биссектрисы $AC'$ образовалась пирамида $AC'DB$. Построим плоскость $BCD$ перпендикулярно прямой $AC'$. Тогда $\angle BCD = 45^{\circ}$ — заданный угол поворота. Заметим, что треугольники $ACB$ и $ACD$ — прямоугольные и равнобедренные ($\angle BAC = 45^{\circ}$). Необходимо найти $\angle BAD$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCD$. У них общая сторона $BD$.
Введем обозначения:
$CB=CD=AC=x$, $AD=AB=a$,  $BD=y$.

Запишем теорему косинусов для $\triangle BCD$

$y^2=x^2+x^2-2x^2 \cdot \cos 45^{\circ}=2x^2-2x^2 \cdot \frac{\sqrt2}{2}=2x^2-\sqrt2x^2$.

По теореме Пифагора имеем
$a^2=x^2+x^2=2x^2$.

Запишем теорему косинусов для $\triangle BAD$

$y^2=a^2+a^2-2a^2 \cdot \cos(\angle BAD)$
или после подстановки
$2x^2-\sqrt2x^2=2x^2+2x^2-4x^2\cdot \cos(\angle BAD)$.

Выполняя преобразования
$4x^2\cdot \cos(\angle BAD)=2x^2+\sqrt2x^2$;
$4\cos(\angle BAD)=2+\sqrt2$;
$\cos(\angle BAD)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}$;
получим
$\angle BAD=\arccos \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4} \right)$.

Ответ:

$\arccos \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4} \right)$.