Элементарная математика. Геометрия.

Задача 92

В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной $1$. Боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами. Одно боковое ребро равно $\sqrt{7}$, а два других меньше его. Найдите объём пирамиды. 

Решение:
Пусть $EABC$ — заданная пирамида, ребро $BE=\sqrt{7}$.
По условию боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами. Если высота $EH$ будет проецироваться на основание, то боковые рёбра пирамиды будут равны между собой, что противоречит условию задачи. Значит высота $EH$ проецируется за основание пирамиды. Очевидно также, что $BH$ будет биссектрисой $\angle B$.
Так как, боковые грани образуют с плоскостью основания  равные двугранные углы,  то  $\angle EKH = \angle EOH = \angle EMH$. Следовательно $\triangle EKH = \triangle EOH =\triangle EMH$. Значит $HK = HO = HM$.
Рассмотрим треугольники $\triangle HOC$ и $\triangle HKC$. Так как $HK = HO$ и $HC$ является общей гипотенузой, то треугольники равны и тогда $OC = CK = \frac{1}{2}$.
Прямоугольные треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle KBH$ подобны по общему углу $\angle OBC$, тогда $\frac{OC}{HK} = \frac{BO}{BK}$.
Подставим известные значения:
$\frac{1/2}{HK} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2}$.
Отсюда
$HK = \frac{\sqrt{3}}{2}=HO$.
Теперь найдём высоту $EH$ по теореме Пифагора: $EH^2 = EB^2 - HB^2$,
где $EB = \sqrt{7}$ и $HB = HO+OB=\sqrt{3}$.
Подставляем:
$EH^2 = \sqrt{7}^2 - \sqrt{3}^2 = 7 - 3 = 4$.
Следовательно, $EH = 2$.
Найдем площадь основания. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$.
Подставляя $a = 1$, получаем: $S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Теперь найдём объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot EH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{6}$.