Элементарная математика. Геометрия.

Задача 93

Две противоположные вершины куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром, равным $a$, вписан в цилиндр указанным в условии образом. Положим $R$ — радиус основания цилиндра и $h$ —  его высота.
Запишем формулы объема куба и цилиндра:
$V_{куба}=a^{3}$;
$V_{цилиндра}=\pi R^{2}h$.

Найдем зависимость радиуса и высоты цилиндра ($R$ и $h$) от величины ребра куба ($a$).

Из условия следует, что $AC_{1}$ — диагональ куба и высота цилиндра.

Известно, что $AC_{1}=h=a\sqrt{3}$.

Дальше выразим $R$ через $a$.

Через вершину $A_{1}$ проведем плоскость, перпендикулярную высоте цилиндра $AC_{1}$ (точка пересечения $O$) и $OA_{1}$ является радиусом цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный $\Delta C_{1}A_{1}A$ ($AA_{1}\bot(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})$). Сторона $C_{1}A_{1}$ является диагональю квадрата $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ и следовательно равна $a\sqrt{2}$.

Тогда синус $\sin{\angle C_{1}AA_{1}}=\frac{C_{1}A_{1}}{AC_{1}}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный $\Delta OAA_{1}$ ($\angle AOA_{1}=90^\circ$). 

Тогда
$\sin\angle A_{1}AC_{1}=\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow OA_{1}=R=\frac{AA_{1}\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Значит объем цилиндра

$V_{цилиндра}=\pi R^{2}h=\pi\cdot\left(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}$.

Вычислим отношение объемов куба и цилиндра:

$\frac{V_{цилиндра}}{V_{куба}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}}{a^{3}}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ .

Ответ:

$\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$.