Элементарная математика. Геометрия.

Задача 94

В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными $1$. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее боковые ребра равны, а боковые грани равновеликие.

Решение:

Пусть $SABC$ — заданная пирамида. В ней по условию $AB=CB=1$, $\angle ABC=90^\circ$, $SA=SB=SC$.
Очевидно, что
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot BC =\frac{1}{2}$
и по теореме Пифагора
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$.

По условию треугольники $SAB, SBC, SAC$ — равнобедренные. Значит, их высоты, проведенные из вершины $S$, делят соответствующие основания пополам в точках $F$ и $H$. Пусть  $h_{1}=SF, h_{2}=SH$. Тогда можно записать систему двух уравнений
$\left\{\begin{array}{c}SF^2+FA^2=SH^2+HA^2;\\S_{SAB}=S_{SAC},\end{array}\right.$
которая после подстановки примет вид
$\left\{\begin{array}{c}h_{1}^2+\frac{1}{4}=h_{2}^2+\frac{1}{2};\\\frac{1}{2}h_{1}=\frac{1}{2}h_{2}\sqrt{2},\end{array}\right.$
или
$\left\{\begin{array}{c}h_{1}^2=h_{2}^2+\frac{1}{4};\\h_{1}=\sqrt{2}h_{2}.\end{array}\right.$
Так как высота не может быть отрицательной, то решение системы будет таким
$h_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}; h_{2}=\dfrac{1}{2}.$

Легко заметить, что для треугольника $SFH$ выполняется равенство

$FH^{2} = SF^{2} - SH^{2} \left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right)$.

Значит, $\triangle SFH$ —прямоугольный и $SH$ — высота пирамиды.

Тогда объем пирамиды

$V=\dfrac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S H=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$.

Oтвет:

$\dfrac{1}{12}$.