Задача 95

В каком отношении делит объём тетраэдра ABCD плоскость, проходящая через точку M на ребре AB, такую, что AM = \dfrac{1}{3} AB, и через середины медиан треугольников ABC и ABD, выходящих из вершины A?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Так как перед нами тетраэдр, гранями которого являются неравные треугольники, то непонятно как прямая MO пересечётся с прямой BC. Для этого воспользуемся теоремой Менелая: \dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1.
(Доказательство:
проведём HZ \parallel AB, Z \in MX. Так как \bigtriangleup MAO \thicksim \bigtriangleup OZH и \bigtriangleup HZX \thicksim \bigtriangleup BMX (по двум углам), то \dfrac{AO}{OH} = \dfrac{MA}{HZ} и \dfrac{HX}{BX} = \dfrac{HZ}{BM}.
Перемножим почленно указанные пропорции \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = \dfrac{MA}{HZ} \cdot \dfrac{HZ}{BM}, получим \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = \dfrac{MA}{BM}, откуда
\dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1.

Подставим в последнее выражение данные из условия, получим:
\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1.
Отсюда
\dfrac{HX}{BX} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow BX = 2HX \Rightarrow BX = BH + HX = 2HX \Rightarrow HX = BH.
Значит, точки C и X совпадают.
Аналогично можно показать, что ML \cap AD = D.

Следовательно, \bigtriangleup DMC — искомое сечение.
Очевидно, что пирамиды CAMD и CMBD имеют одинаковую высоту, проведенную из точки C, так как основания данных пирамид образуют  \bigtriangleup ABD.

Тогда
\dfrac{V_{CAMD}}{V_{CMBD}} = \dfrac{\dfrac{1}{3} S_{AMD} \cdot h}{\dfrac{1}{3} S_{MBD} \cdot h} = \dfrac{S_{AMD}}{S_{MBD}} = \dfrac{S_{ABD} - S_{MBD}}{S_{MBD}} = \dfrac{S_{ABD}}{S_{MBD}} - 1 = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin{B}}{\dfrac{1}{2} \cdot MB \cdot BD \cdot \sin{B}} - 1 = \dfrac{AB}{MB} - 1 = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}.

Ответ:

\dfrac{1}{2}.
Тағйироти охирин: Ҷумъа 31 Январ 2025, 10:44