Элементарная математика. Геометрия.

Задача 95

В каком отношении делит объём тетраэдра $ABCD$ плоскость, проходящая через точку $M$ на ребре $AB$, такую, что $AM = \dfrac{1}{3} AB$, и через середины медиан треугольников $ABC$ и $ABD$, выходящих из вершины $A$?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Так как перед нами тетраэдр, гранями которого являются неравные треугольники, то непонятно как прямая $MO$ пересечётся с прямой $BC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая: $\dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1$.
(Доказательство:
проведём $HZ \parallel AB$, $Z \in MX$. Так как $\bigtriangleup MAO \thicksim \bigtriangleup OZH$ и $\bigtriangleup HZX \thicksim \bigtriangleup BMX$ (по двум углам), то $\dfrac{AO}{OH} = \dfrac{MA}{HZ}$ и $\dfrac{HX}{BX} = \dfrac{HZ}{BM}$.
Перемножим почленно указанные пропорции $\dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = \dfrac{MA}{HZ} \cdot \dfrac{HZ}{BM}$, получим $\dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = \dfrac{MA}{BM}$, откуда
$\dfrac{BM}{MA} \cdot \dfrac{AO}{OH} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1$.

Подставим в последнее выражение данные из условия, получим:
$\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{HX}{BX} = 1$.
Отсюда
$\dfrac{HX}{BX} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow BX = 2HX \Rightarrow BX = BH + HX = 2HX \Rightarrow HX = BH$.
Значит, точки $C$ и $X$ совпадают.
Аналогично можно показать, что $ML \cap AD = D$.

Следовательно, $\bigtriangleup DMC$ — искомое сечение.
Очевидно, что пирамиды $CAMD$ и $CMBD$ имеют одинаковую высоту, проведенную из точки $C$, так как основания данных пирамид образуют  $\bigtriangleup ABD$.

Тогда
$\dfrac{V_{CAMD}}{V_{CMBD}} = \dfrac{\dfrac{1}{3} S_{AMD} \cdot h}{\dfrac{1}{3} S_{MBD} \cdot h} = \dfrac{S_{AMD}}{S_{MBD}} = \dfrac{S_{ABD} - S_{MBD}}{S_{MBD}} = \dfrac{S_{ABD}}{S_{MBD}} - 1 = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin{B}}{\dfrac{1}{2} \cdot MB \cdot BD \cdot \sin{B}} - 1 = \dfrac{AB}{MB} - 1 = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$.

Ответ:

$\dfrac{1}{2}.$