Элементарная математика. Геометрия.

Задача 96

$ABC$ — правильный треугольник со стороной $3$; $M$ и $K$ — точки на $BA$ и $CA$, такие, что $BM = CK = 1$ . Найдите объём тела, полученного при вращении треугольника $ABC$ вокруг прямой $MK$.

Решение:

Объём $V$ образовавшегося тела вращения можно найти по формуле $V = 2 \cdot V_1$, где $V_1$ — объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника $ACH$ ($\angle AHC = 90 ^{\circ}$) вокруг прямой $MK$.

Объём $V_1$ можно расписать, как $V_1 = V_{\text{б. к.}} + V_{\text{ц}} - 2 \cdot V_{\text{м. к.}}$, где $V_{\text{б. к.}}$ — объём большего конуса, полученного при вращении прямоугольного треугольника $AKD$ ($\angle ADK = 90 ^{\circ}$) вокруг прямой $MK$, $V_{\text{ц}}$ — объём цилиндра, полученного при вращении прямоугольника $F_1K_1D_1C$ вокруг прямой $MK$, а $V_{\text{м. к.}}$ — объём меньшего конуса, полученного при вращении прямоугольного треугольника $KCF_1$ ($\angle KF_1C = 90 ^{\circ}$) вокруг прямой $MK$.

Каждый из объёмов можно найти по формулам: $V_{\text{б. к.}}= \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot AD^2 \cdot KD$, $V_{\text{м. к.}}= \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot F_1C^2 \cdot F_1K$, $V_{\text{ц}}= \pi \cdot K_1D_1^2 \cdot CD_1$.

$AH$ - высота и медиана правильного треугольника $ABC$, поэтому $AH = AB \sin 60^{\circ} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$, а $HC = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{3}{2}$.

Рассмотрим подобные треугольники $AHC$ и $ADK$.

Распишем коэффициент подобия $k = \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{HC}{KD} = \dfrac{AC}{AK} = \dfrac{3}{2}$. Отсюда $\dfrac{3 \sqrt{3}}{2AD} = \dfrac{3}{2KD} = \dfrac{3}{2}$. Поэтому $AD = \sqrt{3}$, $KD =CD_1= 1$.

$F_1C = K_1D_1 = DH = AH - AD = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$,

$F_1K = FC = HC - KD = \dfrac{3}{2} -1 = \dfrac{1}{2}$.

Найдём по отдельности каждый из объёмов:

$V_{\text{б. к.}}= \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot AD^2 \cdot KD = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot 1 = \pi,$

$V_{\text{м. к.}}= \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot F_1C^2 \cdot F_1K = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{8},$

$V_{\text{ц.}}= \pi \cdot K_1D_1^2 \cdot CD_1 = \pi \cdot \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \cdot 1 = \dfrac{3\pi}{4}.$

Исходя из полученных значений, найдём объём $V$ тела вращения:

$V = 2 \cdot V_1 = 2 (V_{\text{б. к.}} + V_{\text{ц}} - 2 \cdot V_{\text{м. к.}}) = 2 \left( \pi + \dfrac{3 \pi}{4} - 2 \cdot \dfrac{\pi}{8}\right) =2 \cdot \dfrac{3 \pi}{2} = 3 \pi$.

Ответ:

$3\pi$.