Элементарная математика. Геометрия.

Задача 97

В любом ли тетраэдре высоты пересекаются в одной точке?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Пусть $SABC$ — правильный тетраэдр. Его высоты $SO, AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ пересекаются в одной точке.

Пусть $AO$ — проекция ребра $SA$. Передвигая точку $O$ на рисунке, мы будем изменять положение вершины тетраэдра. При этом все высоты изменят свое положение, но $CC_1$ и $BB_1$ будут пересекаться, а $SO$ выйдет из точки пересечения.

Значит только в правильном тетраэдре высоты пересекаются в одной точке.

Ответ: только в правильном тетраэдре.