Элементарная математика. Геометрия.

Задача 98

Существует ли такая треугольная пирамида, что основания всех её высот лежат вне соответствующих граней?

Доказательство:

Первый случай: один двугранный угол тупой, а противоположный ему — острый.

Пусть двугранный угол между гранью $ABC$ и гранью $ACD$ тупой, то есть больше $90^\circ$. Угол же между гранями $DBC$ и  $ABD$ — острый.

В этом случае, основание высоты из вершины $D$, будет выходить за пределы треугольника $ABC$. Аналогично, основание высоты из вершины $B$, будет выходить за пределы треугольника $ADC$. В то же время, основания высот из точек $A$ и $C$ будут лежать внутри треугольников $DBC$ и  $ABD$ соответственно.

Второй случай: один двугранный угол тупой, а противоположный ему двугранный угол равен $90^\circ$.

Пусть, как и в предыдущем случае, двугранный угол между гранью $ABC$ и гранью $ACD$ тупой, то есть больше $90^\circ$. Угол же между гранями $DBC$ и  $ABD$ равен $90^\circ$.

В этом случае, основание высоты из вершины $D$, как и раньше, будет выходить за пределы треугольника $ABC$. Аналогично, основание высоты из вершины $B$, будет выходить за пределы треугольника $ADC$. В то же время, основания высот из точек $A$ и $C$ будут лежать на ребре $BD$.

Третий случай: два противоположных двугранных угла тупые.

Пусть, как и в предыдущих случаях, двугранный угол между гранью $ABC$ и гранью $ACD$ тупой, то есть больше $90^\circ$. Угол же между гранями $DBC$ и  $ABD$ также больше $90^\circ$.

В этом случае, основание высоты из вершины $D$, как и раньше, будет выходить за пределы треугольника $ABC$. Аналогично, основание высоты из вершины $B$, будет выходить за пределы треугольника $ADC$. В то же время, основания высот из точек $A$ и $C$ будут лежать вне треугольников $DBC$ и  $ABD$ соответственно.

Ответ:

Такая пирамида существует: два противоположных двугранных угла должны быть тупыми.