Элементарная математика. Геометрия.

Задача 99

Докажите, что прямая, образующая равные углы с тремя пересекающимися прямыми плоскости, перпендикулярна плоскости.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. 

Решение:

Пусть плоскость $\alpha$ содержит $2$ пересекающиеся прямые $m$, $n$, а прямая $d$ образует с ними равные углы.
Предположим, что прямая $d$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Рассмотрим проекцию прямой $d$ (прямая $d'$) на плоскость $\alpha$, которая также образует равные углы с прямыми $m$ и $n$. Следовательно, прямая $d′$ совпадает с биссектрисой угла между прямыми $m$ и $n$.

Теперь введём трёхгранный угол образованный плоскостью $\alpha$ и двумя плоскостями, содержащими пересекающиеся прямые $m$ и $n$. В нем плоские углы $\delta, \varepsilon= \zeta$.

В нашем случае угол между прямой $d$ и ее проекцией $d'$ ($\delta$) будет всегда меньше углов $\varepsilon= \zeta$. Значит, если предположить, что $d'$ — третья рассматриваемая прямая, то получается, что сумма углов между прямой $d$ и прямыми $m$, $n$ и $d'$ должна не превосходить $270^{\circ}$.

А если необходимо чтобы все углы были одинаковыми, то получаем, что каждый из углов будет равняться $90^{\circ}$, т.е. для того чтобы прямая образовывала с тремя пересекающимися прямыми, принадлежащими одной плоскости, одинаковые углы, она должна быть им перпендикулярна.

Доказано