Элементарная математика. Геометрия.

Задача 101

Любой ли трёхгранный угол можно пересечь плоскостью таким образом, что в сечении получится правильный треугольник?

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Рассмотрим трёхгранный угол $\angle PABC$ с вершиной $P$. Пусть его плоские углы $\angle APC$ и $\angle BPC$  — прямые, а $\angle APB=30^{\circ}$. Предположим, что в сечении данного трёхгранного угла некоторой плоскостью получился правильный треугольник $\bigtriangleup MNK$ (точка $M$ — на луче $PA$, $N$ — на луче $PC$). Из равенства прямоугольных треугольников $MPN$ и $NPK$ следует, что $MP=PK$, значит, треугольник $MPK$ — равнобедренный. Поскольку угол при его вершине равен $30^{\circ}$, основание $MK$ меньше боковой стороны $MP$, значит, $MK$, что невозможно.

 Ответ: 

Нет, не любой.