Элементарная математика. Геометрия.

Задача 102

Докажите, что если все плоские углы трёхгранного угла равны $90^{\circ}$, то любое сечение этого трёхгранного угла является остроугольным треугольником.  

Доказательство:

Пусть точки пересечения плоскости с рёбрами трёхгранного угла будут $A(x, 0, 0), B(0, y, 0), C(0, 0, z)$. Тогда квадраты сторон треугольника в сечении запишутся так
$a^2=y^{2}+z^{2}, b^2=z^{2}+x^{2}, c^2=x^{2}+y^{2}$.

Треугольник будет остроугольным, если квадрат каждой стороны меньше суммы квадратов двух других сторон. Проверим это для стороны $a$:

$a^2=y^{2}+z^{2}, b^{2}+c^{2}=(z^{2}+x^{2})+(x^{2}+y^{2})$.

Тогда  $b^{2}+c^{2}-a^{2}=(z^{2}+x^{2})+(x^{2}+y^{2})-(y^{2}+z^{2})=2x^{2}>0$.
Аналогично можно показать что
$a^{2}+c^{2}−b^{2}=(y^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2})−(z^{2}+x^{2})=2y^{2}>0$;
$a^{2}+b^{2}−c^{2}=(y^{2}+z^{2})+(z^{2}+x^{2})−(x^{2}+y^{2})=2z^{2}>0$.