Элементарная математика. Геометрия.

Задача 103

Дан куб с ребром $a$. Две вершины правильного тетраэдра лежат на его диагонали, а две оставшиеся — на диагонали его грани. Найдите объём тетраэдра.

Решение:

Из условия следует, что расстояние между противоположными ребрами тетраэдра совпадает с расстоянием между указанными в условии диагоналями куба. Первое было найдено в Задаче 1(dl.bsu.by/mod/page/view.php?id=54596) и равно $b\frac{\sqrt 2}{2}$, где $b$ — длина ребра тетраэдра.
Там же получена формула
$V_{тетр. пр} = \dfrac{b^{3} \cdot \sqrt{2}}{12}$.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб с ребром $a$, точка $M$ — пересечение диагоналей, $\angle MKD= 90^\circ$. Найдем расстояние между диагоналями $B_1D$ и $AC$. Для этого рассмотрим подобные прямоугольные треугольники $B_1BD$ и $MKD$ и запишем отношение:
$\dfrac{B_1B}{MK} = \dfrac{B_1D}{MD}$.
Подставим сюда известные значения, получим
$\dfrac{a}{MK} = \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{\dfrac{a \cdot \sqrt{2}}{2}}$,
и
$MK = \dfrac{a \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{6}$.

Приравняем расстояние между диагоналями куба, выраженное через $a$ и $b$
$\dfrac{b \cdot \sqrt{2}}{2} = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{6}$.
Отсюда
$b = \dfrac{a \cdot \sqrt{6}}{3 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{3}$
и
$V_{тетр. пр} = \dfrac{b^{3} \cdot \sqrt{2}}{12} = \dfrac{\left(\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^{3} \cdot \sqrt{2}}{12} = \dfrac{a^{3} \cdot \sqrt{6}}{108}$.

Ответ:

$\dfrac{a^{3} \cdot \sqrt{6}}{108}$.