Элементарная математика. Геометрия.

Задача 104

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник, высота пирамиды $h$. Найдите объём пирамиды, если известно что, все её пять граней равновеликие.

Решение:

Пусть задана пирамида $EABCD$, у которой основание $ABCD$ — прямоугольник ($AB=DC=a$, $BC=AD=b$) и у которой $EF=h$ — высота. И все её пять граней равновелики, т.е. $S_{AEB}=S_{BEC}=S_{CDE}=S_{DEA}=S_{ABCD}$.

Рассмотрим треугольники $AEB$ и $DEC$, у которых $S_{AEB}=S_{DEC}$. Отсюда $\dfrac{1}{2}AB \cdot EH=\dfrac{1}{2}DC \cdot EM$, поэтому $EH = EM$ (так как $AB=DC=a$). Получили равенство высот данных треугольников. Аналогично для треугольников $DEA$ и $BEC$ выполняется равенство их высот $EG$ и $EO$. Из этих равенств следует, что вершина пирамиды проецируется в центр основания (в точку пересечения диагоналей).

Обозначим $EH = h_a$, $EG=h_b$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $EFH$ и $EFG$. По теореме Пифагора получим: $h_a^2=EF^2 + HF^2$ и $h_b^2 = EF^2 + GF^2$. Или $h_a^2=h^2 + \dfrac{b^2}{4}$ и $h_b^2 = h^2 + \dfrac{a^2}{4}$. Следовательно $h^2 = h_a^2-\dfrac{b^2}{4}=h_b^2-\dfrac{a^2}{4}$.

Из равенста площадей треугольников $AEB$, $BEC$ и прямоугольника $ABCD$ получим, что $\dfrac{1}{2}h_a a = \dfrac{1}{2}h_b b = ab$, или $h_a a = h_b b = 2ab$. Следовательно $h_a a = 2ab$ и $h_b b = 2ab$, отсюда получим, что $h_a = 2b$ и $h_b = 2a$.

Подставим значения $h_a$ и $h_b$ в полученное нами равенство для $h^2$:
$h^2=4b^2-\dfrac{b^2}{4}=4a^2-\dfrac{a^2}{4},$
$h^2=\dfrac{15}{4}b^2=\dfrac{15}{4}a^2,$
$\dfrac{4}{15}h^2 =a^2=b^2$.

Отсюда следует, что в основании пирамиды $EABCD$ лежит квадрат $ABCD$, для которого $S_{ABCD}=a^2 = \dfrac{4}{15}h^2$.

Найдём объём пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3} S_{ABCD} h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{15} \cdot h^2 \cdot h = \dfrac{4h^3}{45}$.

Ответ:

$\dfrac{4h^3}{45}$.