Элементарная математика. Геометрия.

Задача S106

Вокруг шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, апофема которой равна $a$. Найдите её боковую поверхность.

Решение:

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Тогда $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — квадраты, а $DD_1C_1C=BB_1C_1C=AA_1B_1B=AA_1D_1D$ — равнобедренные трапеции.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр шара, перпендикулярно основаниям. Это равнобедренная трапеция $NN_1K_1K$, т.к. $NN_1=KK_1$ — апофемы в правильной усечённой пирамиде.

Очевидно, что $N_1K_1=A_1D_1$ и $NK=AD$. Введём обозначение $N_1K_1=x$, $NK=y$.

Рассмотрим трапецию $NN_1K_1K$. В эту трапецию можно вписать окружность по условию. Отсюда следует, что $x+y=2a$ .

Воспользуемся формулой площади боковой поверхности пирамиды $S=\dfrac{1}{2}\cdot{(P_1+P_2)}\cdot{a}$,

где $P_1=4x, P_2=4y$ — периметры оснований пирамиды. Тогда

 $S=\dfrac{1}{2}\cdot{(4x+4y)}\cdot{a}=\dfrac{4a}{2}\cdot{(x+y)}={2a}\cdot{2a}=4a^2$.

Ответ:

$4{a^2}$.