Элементарная математика. Геометрия.

Задача S108

Три шара касаются плоскости данного треугольника в вершинах этого треугольника и между собой. Найдите радиусы этих шаров, если стороны треугольника равны $a, b$ и $c$.

Решение:

Пусть в заданном  $\triangle ABC$ — $AB = a, BC = b, AC = c$. Центры шаров обозначим в соответствии с вершинами, которых они касаются, $O_a, O_b, O_c$. Соответственно, радиусы шаров обозначим как $R_a, R_b, R_c$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_aABO_b$. В ней $AB = a, BO_b = R_b, AO_a = R_a, O_bO_a = R_a + R_b$.

Проведем $O_aH$ параллельно $AB$. Тогда в прямоугольном  $\triangle HO_bO_a$ катет $HO_b = R_b - R_a.$ Запишем теорему Пифагора

$(R_a+R_b)^2-(R_a-R_b)^2=a^2$.

После элементарных преобразований находим

$R_aR_b = \dfrac{a^2}{4}\$.  (1)

По аналогии сформируем еще два равенства
$R_bR_c=\dfrac{b^2}{4};$  (2)
$R_aR_c=\dfrac{c^2}{4}\$.         (3)

Перемножив три последних равенства, получим

$R_a^2R_b^2R_c^2=\dfrac{a^2b^2c^2}{64}$

или

$R_aR_bR_c=\dfrac{abc}{8}$.

Из (1) -(3) и последнего равенства находим

$R_c=\dfrac{bc}{2a}$,
$R_a=\dfrac{ac}{2b}$,
$R_b=\dfrac{ab}{2c}$.

Ответ:

$\dfrac{bc}{2a};\dfrac{ac}{2b};\dfrac{ab}{2c}.$