ЭМГеометрия: Задача S105

Задача S105

Среди пирамид, все рёбра которых равны $a$ , найдите объём той пирамиды, которая имеет наибольшее число рёбер.

Решение:

Пусть дана пирамида с $n$ -угольным основанием. Чтобы все рёбра были равны, должны выполняться два условия:
1) все рёбра основания равны, т.е. основание — правильный многоугольник;
2) все боковые рёбра равны между собой и равны рёбрам основания.
Рассмотрим правильный $n$ -угольник со стороной $a$ и радиусом описанной окружности $R$ . Тогда расстояние от центра до вершины основания равно $R$ . Если $h$ — высота пирамиды, то длину бокового ребра найдем по теореме Пифагора
$a= \sqrt{h^2 + R^2}$ . (1)

Для правильного $n$ -угольника сторона $a$ и радиус $R$ связаны соотношением: $a = 2R\sin{\left(\frac{\pi}{n}\right)}$ . Подставляя это в (1), получаем
$2R\sin{\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \sqrt{h^2+R^2}$ .

После преобразований имеем
$h^2 = R^2\left(4\sin^2{\left(\frac{\pi}{n}\right)} - 1\right)$ . (2)

Чтобы $h$ было действительным, выражение в скобках должно быть неотрицательным:
$4\sin^2{\left(\frac{\pi}{n}\right)} - 1 \geq 0$
или
$\sin{\left(\frac{\pi}{n}\right)} \geq \frac{1}{2}$ .
Отсюда получаем
$\frac{\pi}{n} \geq \frac{\pi}{6} \implies n \leq 6$ .

Значит, $n$ может принимать значения 3, 4, 5 или 6.
Очевидно, что максимальное количество рёбер у невырожденной пирамиды с равными рёбрами достигается при $n=5$ .

Пусть $SABCDE$ — правильная пятиугольная пирамида, у которой основание $ABCDE$ — правильный пятиугольник ( $AB=BC=CD=DE=AE=a$ ) и $SO=h$ — высота. По условию $AB=BC=CD=DE=AE=SA=SB=SC=SD=SE=a$ .