Элементарная математика. Геометрия.

Задача 109

Докажите, что отношение объёмов сферы и описанного около неё усечённого конуса равно отношению их полных поверхностей.

Решение:

Введем следующие обозначения: $R$ —  радиус шара, а $r_1, r_2$ — радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса соответственно, а $l$ — образующая. Пусть   $V_{к}, V_{ш}, S_{к}, S_{ш}$ — объемы и площади поверхности усеченного конуса и шара соответственно. 
Запишем известные формулы в принятых обозначениях.

$V_{к}= \frac{1}{3} \pi h ( r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2 )$,
$V_{ш} = \frac{4}{3} \pi R^3$,
$S_{к}=\pi ( r_1 + r_2 ) l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$,
$S_{ш}=4 \pi R^2$.

Так как осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная описанная трапеция с боковой стороной $l$ и основаниями $2r_1$ и $2r_2$, то для  описанного четырёхугольника справедливо равенство:

$l+l=2r_{1}+2r_{2} \Rightarrow 2l=2r_{1}+2r_{2} \Rightarrow l=r_{1}+r_{2}$.
Тогда для отношения площадей и объемов соответственно получаем
$\displaystyle{\frac{S_{к}}{S_{сф}}=\frac{\pi(r_1 + r_2)l + \pi r_1^2 + \pi r_2^2}{4\pi R^2} = }$ $\displaystyle{\frac{(r_1 + r_2)l + r_1^2 + r_2^2}{4R^2} = \frac{(r_1 + r_2)(r_1 + r_2) + r_1^2 + r_2^2}{4R^2}=}$ $\dfrac{r_1^2+2r_1r_2+r_2^2+r_1^2+r_2^2}{4R^2}=\dfrac{2r_1^2+2r_1r_2+2r_2^2}{4R^2}=\dfrac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{2R^2}$.

$\displaystyle{\frac{V_{к}}{V_{ш}}=\frac{\frac{1}{3} \pi 2R (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)}{\frac{4}{3} \pi R^3}=\frac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{2R^2}}$.

Значит
$\displaystyle{\frac{V_{к}}{V_{ш}} = \frac{S_{к}}{S_{сф}}}$.