Элементарная математика. Геометрия.

Задача 110

Докажите, что прямые, соединяющие середину высоты правильного тетраэдра с вершинами той грани, на которую эта высота опущена, попарно перпендикулярны.

Решение:
Рассмотрим правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Пусть $DH$ — высота, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, а $O$ — середина этой высоты, то есть $DO = OH$.

Поскольку тетраэдр правильный, то точка $H$ является центром равностороннего треугольника $ABC$. Тогда: $AH =BH= \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad HM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Запишем теорему Пифагора для $\triangle DAH$:
$DH = \sqrt{DA^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Так как $O$ — середина $DH$, то: $OH = \frac{DH}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.
По теореме Пифагора для $\triangle AOH$ имеем
$AO = \sqrt{AH^2 + OH^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{a^2}{6}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Аналогично можем получить, что $BO = CO = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Запишем теорему косинусов для $\triangle AOC$:
$AC^2=AO^2 + CO^2 -2 AO\cdot CO \cos \angle AOC= \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 -2 AO\cdot CO \cos \angle AOC=$ $\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} -2 AO\cdot CO \cos \angle AOC= a^2 -2 AO\cdot CO \cos \angle AOC = AC^2$.
Значит, $\cos \angle AOC=0$ и, следовательно,  $\angle AOC = 90^\circ$, то есть $AO \perp OC$.

Аналогично доказывается, что $OC \perp OB$ и $OB \perp OA$.