Элементарная математика. Геометрия.

Задача 111

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$, $K$ — середина ребра $DD_{1}$. Найдите угол и расстояние между прямыми $CK$ и $A_{1}D$.

Решение:
Рассмотрим куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$.
Найдем угол между прямыми $CK$ и $A_{1}D$. Проведем $A_{1}N \parallel CK$. Тогда точка $N$  будет серединой $BB_{1}$, т.к. $K$ середина $DD_{1}$ по условию. Следовательно, искомый угол равен углу $NA_{1}D$. Пусть $\angle NA_{1}D=\varphi$.
В $\triangle A_{1}ND$ можно легко определить все стороны.
По теореме Пифагора:
из прямоугольного $\triangle A_1B_1N$
$A{_1}N = \sqrt{B{_1}N^2 + A{_1}B{_1}^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$;
из прямоугольного $\triangle A_1AD$
$A_{1}D = a\sqrt{2}$;
из прямоугольного $\triangle NBD$
$DN = \sqrt{NB^2 + BD^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + 2a^2} = \frac{3a}{2}$.
Запишем теорему косинусов для $\triangle A_{1}ND$ в виде
$\cos \varphi = \frac{(NA{_1})^2 + (A{_1}D)^2 - ND^2}{2 \cdot NA{_1} \cdot DA{_1}} = \frac{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)^2 + \left( a\sqrt{2} \right)^2 - \left( \frac{3}{2} a \right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{5a^2}{4} + \frac{8a^2}{4} - \frac{9a^2}{4}}{a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Отсюда 
$\varphi = \arccos\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти несколькими способами.
Первый способ (метод объемов).
Так как плоскость $A_{1}DN$ параллельна $CK$, то расстояние между $CK$ и $A_{1}D$ равно расстоянию от точки $K$ до плоскости $A_{1}DN$. Обозначим его $x$.
Рассмотрим пирамиду $A_{1}NDK$.
С одной стороны, 
$V_{A_{1}NDK} = \frac{1}{3} S_{A_{1}ND} \cdot x$,
а с другой
$V_{A_{1}NDK} = \frac{1}{3} S_{A_{1}KD} \cdot a = \frac{a^3}{12}$.
Приравнивая правые части, легко получаем
$x = \dfrac{a^3}{4S_{A_{1}ND}}$.
Площадь $\triangle A{_1}ND$ находим по формуле
$S_{A{_1}ND} = \frac{1}{2} \cdot A_1N \cdot A_1D \cdot \sin\varphi = \frac{1}{2} \cdot A_1N \cdot A_1D\sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3a^2}{4}$.
Тогда
$x = \frac{a^3}{4S_{A_1ND}} = \frac{a^3}{4 \cdot \frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{3}$.

Второй способ.
Строим плоскость, перпендикулярную $CK$. Эта плоскость пересечет $A_1N$ в точке $J$. В точке $D$  проведем прямую, параллельную $CK$, которая будет лежать в плоскости $CC_1D_1D$ и пересекать достроенную плоскость в точке $T$. Соединим точки $J$ и $T$ и получаем отрезок $JT$, лежащий в плоскости, перпендикулярной $CK$.  Проводим $KL\perp JT$. С учетом того, что $KL$ перпендикулярен плоскости $A_1JDT$, делаем заключение, что $KL$ и есть искомое расстояние. Заметим, что $KL$ является высотой прямоугольного треугольника $TKM$, стороны которого можно легко определить.
В прямоугольном треугольнике $KDT$ угол при вершине $K$ равен $\angle KCD$, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому  $\cos \angle DKT=\cos \angle KCD=\frac {CD}{CK}=\frac{2\sqrt 5}{5}$.
Значит
$KT = DK \cdot \cos \angle DKT = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$.
Тогда по теореме Пифагора
$MT = \sqrt{KT^2 + KM^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{5} + \frac{a^2}{4}} = \frac{3a}{2\sqrt{5}}$.
Из подобия прямоугольных треугольников следует равенство
$\frac{KM}{KL} = \frac{MT}{KT}$,
из которого находим
$KL = \frac{KM \cdot KT}{MT}= \frac{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{5}}}{\frac{3a}{2\sqrt{5}}} = \frac{a^2}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{3a} = \frac{a}{3}$.

Ответ:

$\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}$;
$\frac{a}{3}$.