ЭМГеометрия: Задача s112

Задача s112

Найдите угол и расстояние между скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром $a$ .

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра, то есть кратчайшее расстояние между точками этих прямых. Оно также равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую, или расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Решение:
Случай 1.

Рассмотрим правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра $a$ . Пусть $K$ — середина $AB$ , $M$ — середина $AC$ . Найдём расстояние между прямыми $DM$ и $CK$ .
Для этого спроецируем тетраэдр на плоскость, проходящую через $AB$ и перпендикулярную $CK$ . При этом, точки $D, M$ проецируются в точки $D_1, M_1$ соответственно. Так как $M$ — середина $AC$ , то $M_1$ будет серединой отрезка $AK$ . Заметим, что плоскость $DD_1M_1M$ параллельна медиане $CK$ . Поэтому искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $CK$ и $DM$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $D_1M_1$ в плоскости проекции. Проведем $KL\perp D_1M_1$ .
Тогда это расстояние можно найти из прямоугольного треугольника $D_1KM_1$ , где
высота тетраэдра
$D_1K = a\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $KM_1 = \frac{a}{4}$ .
Значит
$D_1M_1=\sqrt{KM_1^2 + D_1K^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}=a \sqrt{\frac{35}{48}}$ .
Отталкиваясь от подобия прямоугольных треугольников, запишем равенство
$KL = \frac{KM_1 \cdot D_1K}{D_1M_1} = \frac{a^2 \sqrt{\frac{1}{24}}}{a \sqrt{\frac{35}{48}}} = a \cdot \frac{ \sqrt{\frac{1}{24}} }{ \sqrt{\frac{35}{48}} } = a \cdot \sqrt{ \frac{1}{24} \cdot \frac{48}{35} } = a \cdot \sqrt{ \frac{2}{35} }$ .

Как видно из рисунка, угол между прямыми $CK$ и $DM$ равен углу $M_1MD$ , так как $M_1M\parallel CK$ . Запишем теорему косинусов для треугольника $DM_1M$ в виде
$DM_1^2 = DM^2 + M_1M^2 - 2 \cdot DM \cdot M_1M \cdot \cos \angle M_1MD$ .
Здесь
$DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad M_1M= \frac{a\sqrt{3}}{4}$ .
Находим $DM_1$ по теореме Пифагора в треугольнике $DD_1M_1$ :
$DM_1 = \sqrt{DD_1^2 + D_1M_1^2} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)^2 + \left( a\frac{35}{48} \right)^2} = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{13}}{4}$ .
Тогда теорема косинусов перепишется так
$\left( \frac{a\sqrt{13}}{4} \right)^2 = \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \cos \angle M_1MD$ .
После упрощений получаем
$\cos \angle M_1MD = \frac{1}{6}$ .

Отсюда
$\angle M_1MD = \arccos \frac{1}{6}$ .

Случай 2.

Пусть в правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $a$ точка $K$ — середина $AB$ , а точка $N$ — середина $DC$ . Найдем расстояние и угол между прямыми $BN$ и $CK$ .
Спроецируем тетраэдр на плоскость, проходящую через $AB$ и перпендикулярную $CK$ . Точки $D$ и $N$ перейдут в $D_1$ и $N_1$ . Так как $N$ — середина $DC$ , то $N_1$ — середина $D_1K$ .

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $BN$ и $CK$ равно $KL$ ( $KL \perp BN_1$ ) — расстоянию от точки $K$ до прямой $BN_1$ в плоскости проекции.