ЭМГеометрия: Задача s115

Задача 115

Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба. Найдите отношение объемов шара и куба.

Решение:

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ . Примем, что радиус шара равен $R$ . Запишем формулы для объемов шара и куба в принятых обозначениях:

$V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^{3}$ ,

$V_{к} = a^{3}$ .

Пусть для определенности вершины $A, B, C, D$ лежат на сфере. Тогда в силу симметрии сфера будет касаться сторон квадрата $A_1B_1C_1D_1$ в их серединах: $IB_1=IA_1=JC_1=JD_1$ .
По той же причине, очевидно, что центр сферы лежит на отрезке, соединяющем центры граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ . Это отрезок $HL$ .
Заметим также, что окружность, описанная около треугольника $AIB$ , совпадает с линией пересечения плоскости $AA_1B_1B$ и сферы. Получаем сечения сферы: круг в плоскости $AA_1B_1B$ с центром $M$ и круг в плоскости $CC_1D_1D$ с центром $N$ . Если восстановить перпендикуляры из этих центров к параллельным плоскостям, то они пересекутся в центре сферы, т.е. в точке $O$ .
Из прямоугольного треугольника $A_1IA$ находим его гипотенузу $IA$ по теореме Пифагора ( $IA_1 = \frac{a}{2}$ , так как в точке $I$ вписанная окружность касается стороны $A_1B_1$ квадрата и делит ее пополам):
$AI = \sqrt{ A_1I^{2} +A_1A^{2}} = \sqrt{(\frac{a}{2})^{2} + a^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ .
Тогда радиус окружности, описанной около $\triangle AIB$ , находим по теореме синусов
$r= \frac{AI^{2}}{2IK} = \frac{5a^{2}}{4} : 2a =\frac{5a}{8}$ .
Теперь с помощью теоремы Пифагора из треугольника $IMO$ установим связь между стороной куба и радиусом сферы:
$R = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{5a}{8} \right)^{2} } = \sqrt{\frac{41a^2}{64}} = \frac{a\sqrt{41}}{8}$ .