ЭМГеометрия: Задача s116

Задача 116

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ . Найдите радиус сферы, проходящей через вершины $A$ и $C_1$ и середины рёбер $AA_1$ и $BB_1$ .

Решение:

Обозначим: $I$ — середина $AA_1$ , $J$ — середина $BB_1$ . Сфера проходит через точки $A$ , $C_1$ , $I$ и $J$ .

Построим центр сферы. Так как сфера содержит точки $I$ и $J$ , её центр лежит в плоскости $\alpha_1$ , перпендикулярной отрезку $IJ$ и проходящей через его середину. Обозначим эту середину точкой $K$ .

Так как сфера содержит точки $A$ и $I$ , её центр лежит в плоскости $\alpha_2$ , перпендикулярной отрезку $AI$ и проходящей через его середину (точку $L$ ) .

Плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ пересекаются по прямой $ON$ .

Так как сфера содержит точки $A$ и $C_1$ , её центр лежит в плоскости $\alpha_3$ , перпендикулярной отрезку $AC_1$ и проходящей через его середину $P$ . В сечении куба этой плоскостью образуется правильный шестиугольник (см. задачу 35).

Плоскость $\alpha_3$ пересекает ребро $CD$ в его середине — точке $Q$ . Заметим также, что отрезок $ON$ , точки $Q$ и $P$ лежат в плоскости $\alpha_1$ . Следовательно, искомая точка $M$ — центр сферы — является пересечением $ON$ и $PQ$ .

Построим отрезок $PG\perp ON$ и рассмотрим прямоугольные треугольники $GPM$ и $MOQ$ . Эти треугольники равны, т.к. $\angle PMG =\angle OMQ$ и $PG=OQ=\frac{a}{2}$ . Следовательно $PM=MQ=\frac{1}{4}CB_1 =\frac{a\sqrt 2}{4}$ . Так как, $PC_1$ — это половина диагонали куба, значит $PC_1=\frac{a\sqrt 3}{2}$ .