Элементарная математика. Геометрия.

Задача 118

В сферу радиусом $R$ вписана правильная треугольная призма со стороной основания $a$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Решение:

1. Сначала построим сечение. Заметим, что в силу симметрии, диаметр шара, параллельный прямоугольным граням призмы, проходит через центры оснований правильной треугольной призмы. Поэтому, отрезок $DO$, соединяющий середину $FJ$ с центром шара, проецируется на $OP=\frac{1}{3}OH$. Очевидно, что центр шара разделяет высоту призмы пополам, т.е. $YD=DP$. Значит прямоугольные треугольники $ODP$ и $DYN$, где $DN$ — продолжение $OD$, равны и, следовательно, $OP=YN$. А это означает, что указанное в условии сечение будет пересекать верхнее основание призмы по линии $LM\parallel FJ$. Таким образом, в сечении получаем  равнобокую трапецию $FLMJ$. 

Введем следующие обозначения:
$S_{сеч}$ — площадь искомого сечения;
$r_{вп}$ — радиус вписанной окружности в основание призмы;
$h_{осн}$ — высота основания призмы;
$R_{оп}$ — радиус описанной окружности около основания призмы.

Запишем известные формулы для правильного треугольника со стороной $a$:
$h_{\text{осн}} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$R_{\text{оп}} = a \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$r_{\text{вп}} = a \frac{\sqrt{3}}{6}$.

2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle FDO$, у которого  $FD = R$ (радиус шара) и $FO = \frac{a}{2}$ (половина стороны основания). По теореме Пифагора находим
$DO = \sqrt{R^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$.

3. Запишем теорему Пифагора для прямоугольного $\triangle DOP$
$DP =\sqrt{OD^2 - OP^2}=\sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4} - (a \frac{\sqrt{3}}{6})^2}= \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{3}}.$
Тогда $YP =XN= 2 \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{3}}.$

4. Рассмотрим подобные $\triangle IML$ и $\triangle IKG$. Для них справедливо равенство

$\frac{ML}{KG} = \frac{1}{3}$, из которого $ML= \frac{KG}{3}=\frac{a}{3}$.

5. По построению сечения высота трапеции
$ON=2 DO=2 \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$.

6. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле
$S_{\text{сеч}} = S_{F L M J} =\frac{FJ+ML}{2}ON= \frac{\frac{a}{3} + a}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

 $=  \frac{4a}{3} \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}= \frac{2a}{3} \sqrt{4R^2 - a^2}$.

Ответ:

$\frac{2a}{3} \sqrt{4R^2 - a^2}$.