Элементарная математика. Геометрия.

Задача 121

Одна грань куба лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, на одной из боковых граней пирамиды лежат две вершины куба, а на двух других — по одной. Найдите ребро куба, если сторона основания пирамиды равна $a$, а высота пирамиды $h$.

Решение

Рассмотрим пирамиду $SAYC$ с высотой $SJ = h$ и основанием $AYC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Пусть ребро куба равно $x$. Нижнее основание куба лежит в плоскости $AYC$, верхнее основание куба лежит в плоскости, параллельной основанию на высоте $x$ от основания пирамиды, как показано на рисунке.

Вначале выведем формулу, связывающую сторону квадрата, вписанного в равносторонний треугольник, со стороной треугольника $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EZG$. 

В этом треугольнике $ZE=\frac{l-x}{2}$, а $ZG=l-x$, так как $\angle ZGE=30^\circ$.
Запишем теорему Пифагора для этого треугольника
$ZG^2=ZE^2+EG^2$
или
$(l-x)^2=\left(\frac{l-x}{2}\right)^2+x^2$.
После несложных преобразований получим квадратное уравнение относительно $x$
$x^2+6lx-3l^2=0$,
положительный корень которого легко находится
$x = (2\sqrt{3} - 3)l$.

Вернёмся к пирамиде. Плоскость на расстоянии $x$ от основания пирамиды пересекает пирамиду и образует в сечении треугольник $ZBI$. Справедливо следующее отношение, которое основывается на подобии фигур, изображенных на рисунке,

$\frac {l}{a} =\frac{h-x}{h}.$
С учетом полученной выше зависимости перепишем это соотношение так
$\frac {x}{a(2\sqrt{3} - 3)} =1-\frac{x}{h}$
или
$x\left(\frac {1}{a(2\sqrt{3} - 3)}+\frac{1}{h}\right)=1$.
Выразим отсюда $x$ и упростим, после чего окончательно получим
$x = \frac{a h (2\sqrt{3}-3)}{h + a(2\sqrt{3}-3)}.$

Ответ:

$\dfrac{a h (2\sqrt{3}-3)}{h + a(2\sqrt{3}-3)}.$