Элементарная математика. Геометрия.

Задача 124

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна апофеме боковой грани. Через сторону основания проведено сечение, делящее пополам поверхность пирамиды. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

Решение:

Пусть $PABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в которой сторона основания равна апофеме боковой грани: $AB = PM = a$. Пусть также, для определенности, сечение  $ABKE$ делит площадь поверхность пирамиды пополам, а саму пирамиду  на верхнюю и нижнюю части.
Построим сечение $PMT$ перпендикулярно $AB$. Обозначим искомый угол $\angle FTM=\alpha$.
Очевидно, что
$S_{бок.пов.PABKE} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PEK} + S_{\triangle PAE} + S_{\triangle PBK}=S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PKE} + 2 S_{\triangle PAE}$
и
$S_{полн.PABCD}= 4 \cdot S_{PAB} + a^2=4 \frac{a^2}{2}+ a^2=3 a^2$.

Заметим, что треугольники $PAD$ и $PAE$ имеют общую вершину $P$ и общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований:
$\frac{S_{PAD}}{S_{PAE}} = \frac{PA \cdot PD}{PA \cdot PE} = \frac{PD}{PE}$.
Тогда
$S_{PAE} = \frac{PE}{PD} \cdot S_{PAD} = \frac{PE}{PD} \cdot S_{PAB}$.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, поэтому $\frac{S_{PKE}}{S_{PCD}} = \frac{PF^2}{PM^2} \Rightarrow S_{PKE} = \frac{PF^2}{PM^2} \cdot S_{PCD}=\frac{PF^2}{PM^2}\cdot S_{PAB}$.

Боковое ребро заданной пирамиды легко находим по теореме Пифагора
$PD = \sqrt{ \frac{a^2}{1} + \frac{a^2}{4} } = \frac{a \sqrt 5}{2}$.
Используя подобие треугольников, находим
$PE = \frac{PF \sqrt 5}{2}$.

С учетом всех имеющихся величин, получим
$S_{бок.пов.PABKE} = S_{ABP} \left(1+\frac{PF^2}{a^2}+2\frac{PE}{PD} \right) = S_{ABP} \left(1 + \frac{PF^2}{a^2}+ \frac{4 \sqrt{5} PF}{a\sqrt{5} \cdot 2}\right)$.

Записываем в формальном виде равенство, заданное в условии задачи относительно площадей
$(\frac{2PF}{a} + \frac{PF^2}{a^2} + 1) \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}$
или
$PF^2 + 2aPF - 2a^2 = 0$.
Из двух корней этого уравнения берем положительный
$PF=a \sqrt 3 - a$.
Тогда 
$FM =a-PF = a(2 - \sqrt 3)$.
Далее находим $PO$ по теореме Пифагора
$PO = \sqrt{PM^2-OM^2}=  \frac{a \sqrt 3}{2}$.

Для подобных треугольников $FHM$ и $POM$ справедливо равенство
$\frac{FH}{PO} = \frac{FM}{PM} = \frac{ a(2 - \sqrt 3)}{a}= 2 - \sqrt 3$
или
$FH = PO(2 - \sqrt 3) = \frac{a(2 \sqrt 3 - 3)}{2}$.
По теореме Пифагора для $\triangle EHM$ находим 
$HM = \sqrt {FM^2 - FH^2} =  \sqrt {( a(2 - \sqrt 3))^2 -\left (\frac{a(2 \sqrt 3 - 3)}{2}\right)^2}=(2 - \sqrt 3) \frac {a}{2}$.
Тогда 
$TH =TM-HM= \frac {a \sqrt 3}{2}$
и 
$\text{tg} \alpha = \frac {FH}{TH} = \dfrac { \frac{a(2 \sqrt 3 - 3)}{2}}{ \frac {a \sqrt 3}{2}} =  2 - \sqrt 3$.
Следовательно,
$\alpha = \text{arctg} (2 - \sqrt 3)$.

Ответ:

$\alpha = arctg (2 - \sqrt 3)$.