Элементарная математика. Геометрия.

Задача 126

В основании треугольной пирамиды, все боковые ребра которой попарно перпендикулярны, лежит треугольник площадью $S$. Площадь одной из боковых граней $Q$. Найдите площадь проекции этой грани на основание.

Решение
Пусть $SABC$ — заданная треугольная пирамида, в которой $SA \perp SB, SA \perp SC, SB \perp SC$, а также $S_{\triangle ABC}=S$ и для определенности $S_{\triangle SBC}=Q$.

Через точки $A$  и $S$ проведем плоскость $ASH$   перпендикулярно $ABC$. Очевидно, что в силу прямых углов при вершине, $SH\perp BC$. Спроецируем точку $S$ на плоскость $ABC$. Пусть это будет точка $D$. Следовательно, $\triangle BDC$ и будет проекцией $\triangle SBC$ на плоскость основания.

Из прямоугольного треугольника $SHA$ находим $\cos \angle SHA = \frac{SH}{AH}$. А так как, площади
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = S$
и
$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SH \cdot BC = Q$,
то
$\cos \angle SHA=\frac{SH}{AH} = \frac{Q}{S}$.

Очевидно, что 
$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DH \cdot BC = \frac{1}{2}BC \cdot SH \cos \angle SHA= Q  \frac{Q}{S}=\frac{Q^2}{S}$.

Такой же результат получим другим способом.
Площадь проекции треугольника $SBC$ на плоскость $ABC$:
$S_{\text{проекции}} = S_{SBC} \cdot \cos \angle(SBC, ABC) = Q \cdot \cos \angle SHA = Q \cdot \frac{SH}{AH} = Q \cdot \frac{Q}{S} = \frac{Q^2}{S}$.

Ответ:

$\frac{Q^2}{S}$.