Элементарная математика. Геометрия.

Задача 122

В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ проведены две плоскости: одна проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$, а другая — через вершины $A_1$, $B_1$ и $C$. Эти плоскости разделили призму на четыре части. Объем меньшей из этих частей равен $V$. Найдите объем призмы.

Решение:

Рассмотрим многогранник и введём обозначения для его частей. Обозначим объёмы соответствующих тел следующим образом:
$V_1 = V_{MNCC_1}, V_2 = V_{C_1A_1B_1NM}$.
Так как точки $M, N$ являются точками пересечения диагоналей параллелограммов, то отрезок $MN$ является средней линией в $\triangle A_1B_1C$, т.е.
$A_1B_1 = 2MN.$
Пусть $h$ — высота $\triangle CNM$. Тогда
$S_{\triangle CMN} = \frac{1}{2}\,MN \cdot h$,
$S_{A_1B_1NM}= \frac{A_1B_1 + MN}{2}\,h= \frac{3MN }{2}\,h$.

Т.к. пирамиды $C_1MNC$ и $C_1A_1B_1NM$ имеют общую высоту, то
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_{CMN}}{S_{A_1B_1NM}}= \frac{\frac{1}{2}MN \cdot h}{\frac{3MN }{2}\cdot h}= \frac{1}{3}$
или
$V_2 = 3V_1=3V$.
Значит, 
$V_{CC_1A_1B_1} =4 V$.
Заметим, что пирамида $CC_1A_1B_1$ и заданная призма имеют равные основания и общую высоту. Следовательно
$V_{\text{общ}} = 3V_{CC_1A_1B_1} =12 V$.

Ответ:

$12V$.