Элементарная математика. Геометрия.

Задача 25

Вне окружности радиуса $R$ взята точка $A$, из которой проведены две секущие: одна из них проходит через центр, а вторая – на расстоянии $R/2$ от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими двумя секущими.

Решение.

Из рисунка видно: чтобы найти искомую площадь $S$, следует от площади полукруга отнять площадь сегмента, ограниченного хордой $BD$ и дугой $BD$. Если $OC$ – высота треугольника $BOD$, то $\sin{\angle ODC}=\frac{OC}{OD}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$, значит $\angle ODC = 30^\circ$, а $\angle DOB=120^\circ$.

Площадь сектора с углом $120^\circ$ равна трети площади круга, поэтому площадь сегмента равна
$S_{sect.DOB} - S_{\triangle DOB}$ $=\pi \frac{R^2}{3}- \frac{R^2 \sin{120^\circ}}{2} =$ $\pi \frac{R^2}{3}- \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.

Таким образом, $S =\pi \frac{R^2}{2} - \pi \frac{R^2}{3} + \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}= \pi \frac{R^2}{6}+ \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

$\pi \frac{R^2}{6}+ \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$.

видео объяснение решения