Элементарная математика. Геометрия.

Покажем вначале, что на одной прямой лежат середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон. Обозначим буквой $E$ точку пересечения продолжений боковых сторон, $F$ — середину верхнего основания и покажем, что прямая, проходящая через $E$ и $F$, пересекает нижнее основание в его середине. На рисунке $\triangle BEF\sim\triangle AEK$, $\triangle CEF\sim\triangle DEK$. Составляем и приравниваем отношения сходственных сторон: $\frac{BF}{AK} =\frac{EF}{EK} (\triangle BEF\sim\triangle AEK)$, $\frac{CF}{DK} =\frac{EF}{EK} (\triangle CEF\sim\triangle DEK)$. Так как $BF=CF$, то и $AK=DK$.

Теперь проведем прямую через середину верхнего основания $F$ и точку $O$ пересечения диагоналей.
Тогда $\triangle BOF\sim\triangle DOL$,$\triangle COF\sim\triangle AOL$, значит, $\frac{BF}{DL} =\frac{OF}{OL}$, $\frac{FC}{AL} =\frac{OF}{OL} \Rightarrow \frac{BF}{DL} =\frac{FC}{AL}$. Так как $BF=FC$, то и $AL=DL$.