Элементарная математика. Геометрия.

Задача 23

На отрезке $AC$ длиной $a$ отмечена точка $B$ так, что $AB=b$ . На отрезках $AB$ и $AC$ как на диаметрах в одной полуплоскости с границей $AC$ построены полуокружности. Найти радиус окружности, которая касается построенных полуокружностей и $AC$ .

Решение:

На рисунке отобразим, что нам дано, и что нужно найти :

$D$ и $K$ — центры заданных окружностей, $F$ — центр искомой, $E$ — точка касания искомой окружности и $AC$. Из условия видно, что радиусы заданных окружностей равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Обозначим $x$ искомый радиус. Уравнение относительно $x$ составим из следующих соображений: $DK=DE-KE$, с другой стороны, $DK=AK-AD=b$.

Из рисунка видим: $DF=\frac{b}{2}+x$, $FE=x$, $FK=\frac{a}{2}-x$. Так как треугольники $DFE$ и $KFE$ прямоугольные, то:

$DE={\sqrt{DF^2-FE^2}}={\sqrt{{\big(\frac{b}{2}+x)}^2-x^2}}={\sqrt{\frac{b^2}{4}+bx}}$,

$KE={\sqrt{KF^2-FE^2}}={\sqrt{{\big(\frac{a}{2}-x)}^2-x^2}}={\sqrt{\frac{a^2}{4}-ax}}$.

Для нахождения $x$ составляем уравнение $\sqrt{\frac{b^2}{4}+bx}-{\sqrt{\frac{a^2}{4}-ax}}=\frac{a}{2}-\frac{b}{2}$, решая которое получаем:

$\frac{b^2}{4}+bx+\frac{a^2}{4}-ax-2\sqrt{\frac{a^2 b^2}{16}-\frac{ab^2 x}{4}+\frac{a^2 bx}{4}-abx^2}=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}$ $\Leftrightarrow$

$(bx-ax)+\frac{ab}{2}=2\sqrt{\frac{a^2 b^2}{16}-\frac{ab^2 x}{4}+\frac{a^2 bx}{4}-abx^2}$ $\Leftrightarrow$

$b^2 x^2 -2abx^2+a^2 x^2+ab(bx-ax)+\frac{a^2 b^2}{4}=\frac{a^2 b^2}{4}-ab^2 x+a^2 bx-4abx^2$ $\Leftrightarrow$

$x^2(a+b)^2=abx(a-b)$ $\Leftrightarrow$

$x=\frac{ab(a-b)}{(a+b)^2}$.

Ответ:

$x=\frac{ab(a-b)}{(a+b)^2}$.

Видео с решением данной задачи