Элементарная математика. Геометрия.

Задача 16

Сторона $AB$ квадрата $ABCD$ равна $1$ и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной $CK$, проведенной из вершины $C$ к той же окружности, равна $2$. Найти диаметр окружности.

Решение:

Продолжим сторону квадрата $CB$ до ее пересечения с окружностью и обозначим $E$ эту точку пересечения. На основании того, что квадрат отрезка касательной равен произведению секущей, проведенной из той же точки, на отрезок секущей, расположенный вне окружности, следует, что $CE*CB=CK^2$ $\Rightarrow$ $CE=4$ $\Rightarrow$ $BE=3$. Угол $ABE$ прямой, значит, он опирается на диаметр. Из прямоугольного треугольника $ABE$ находим $d=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt {10}$.

Ответ:

$\sqrt{10}$.