Элементарная математика. Геометрия.

Задача 20

Пусть две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются внешним образом. Найти длину отрезка внешней касательной, заключенного между точками касания, и синус угла между их внешней касательной и линией центров.

Решение:
На рисунке $CE$ — общая внешняя касательная к окружностям с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, $O_1C$ и $O_2D$ — радиусы, проведенные в точки касания. Проведем $O_2A$ параллельно $CD$. Тогда $\angle O_1EC$=$\angle O_1O_2A$(соответственные углы при параллельных , $CE$, $O_2A$ и $O_1E$ секущей ). Из прямоугольного треугольника $O_2AO_1$ находим:
$\sin \angle O_1EC=\sin \angle O_1O_2A= \frac{O_1A}{O_1O_2}=\frac{O_1C-AC}{O_1B+BO_2}=\frac{R-r}{R+r}$,
$CD=AO_2=\sqrt {{O_1O_2}^2-{AO_1}^2}=\sqrt {(R+r)^2-(R-r)^2}=2\sqrt {Rr}$.

Ответ:

$\sin \angle O_1EC=\frac{R-r}{R+r}$;
$CD=2\sqrt {Rr}$.