Элементарная математика. Геометрия.

Задача 1.

Доказать, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом. При каких условиях этот параллелограмм будет прямоугольником? ромбом? квадратом?

На рисунке точки $E$, $F$, $G$ и $H$ середины соответствующих сторон. В треугольнике $ABC$ отрезок $EF$ является средней линией, а в треугольнике $ADC$ средней линией является $HG$. Поэтому $EF\||AC$ и $HG\||AC$. Кроме того, $EF=\frac{1}{2}AC=HG$. Аналогично доказывается, что $FG=\frac{1}{2}BD=EH$. Таким образом, в четырехугольнике $EFGH$ противоположные стороны равны и параллельны, значит, это параллелограмм.

Заметим, что на рисунке $\angle EFG=\angle AOD$ (это углы со взаимно параллельными сторонами). Параллелограмм $EFGH$ будет прямоугольником в том случае, когда один из его углов (а, значит, и все остальные), прямой, т.е., когда диагонали четырехугольника $ABCD$ взаимно перпендикулярны. Ромбом этот параллелограмм является тогда, когда имеет равные стороны, т.е., когда диагонали четырехугольника $ABCD$ равны, а квадратом – когда выполняются оба эти условия (т.е. когда диагонали четырехугольника $ABCD$ равны и взаимно перпендикулярны).